Fases topológicas

Adolfo G. Grushin. Max-Planck-Institut für Physik komplexer Systeme (Dresden).

Todos en nuestra experiencia cotidiana nos hemos topado con distintas fases de la materia. Desde los sólidos o líquidos hasta los materiales ferromagnéticos (o coloquialmente imanes) todas ellas se han conseguido entender gracias al concepto unificador de ruptura espontánea de la simetría. Esta idea de mediados del siglo pasado y atribuida principalmente a L. D. Landau, el eminente físico teórico soviético, se puede ilustrar con un ejemplo sencillo. En un líquido, las moléculas, pongamos de agua, pueden moverse con libertad en el espacio, lo que se conoce como simetría de traslación. No importa si una u otra molécula está aquí o allí, el líquido seguirá siendo líquido. Ahora bien, si es enfriado por debajo de una cierta temperatura, las moléculas de agua empezarán a congelarse en ciertos sitios, dando lugar al estado sólido. En él, las moléculas ya no son libres y por tanto la simetría de traslación que gozaba el líquido queda rota en el sólido.

Esta nueva clase de estados cuánticos de la materia prometen revolucionar nuestra manera de hacer computación.

Empleando estas ideas los físicos de la materia condensada fueron capaces de catalogar todas las fases de la materia conocidas. El paradigma es tan general que incluso se encuentra detrás del origen de las masas de las partículas fundamentales y el famoso bosón de Higgs. Parecía que una de las grandes metas de la física, la de entender y clasificar las distintas fases de la materia, había sido alcanzada. No obstante, en 1980, Klaus von Klitzing descubrió una fase que caía fuera del paradigma de Landau, el efecto Hall cuántico, el primer ejemplo de una fase topológica.

En su experimento, por el que en 1985 recibiría el premio Nobel de física, von Klitzing sometió un gas de electrones a muy baja temperatura confinado en un plano a un fuerte campo magnético perpendicular (ver Figura 1). Lo que encontró fue la huella cuántica de una fase topológica. Observó que la resistividad Hall, el cociente entre el voltaje en una dirección y la intensidad en la dirección transversa estaba cuantizada en múltiplos enteros de la unidad fundamental de resistividad. Esta fase no rompía ninguna simetría pero sin embargo presentaba esta característica tan distintiva. La cuantización es tan perfecta (¡una parte en un billón!), que se usa hoy para determinar la carga del electrón y las unidades de resistencia con extraordinaria precisión.

Figura 1. Izquierda: recreación esquemática del efecto Hall. Los electrones en el centro, confinados a una superficie se mueven alrededor del campo magnético sin contribuir a la conducción. Los electrones más próximos extremo de la muestra son forzados a conducir a lo largo del borde sin disipación. Derecha: Datos originales del efecto Hall cuántico tal y como fue medido por K. von Klitzing. Los platós en la resistividad están cuantizados en unidades de la unidad de resistencia h/e2.

Figura 1. Izquierda: recreación esquemática del efecto Hall. Los electrones en el centro, confinados a una superficie se mueven alrededor del campo magnético sin contribuir a la conducción. Los electrones más próximos extremo de la muestra son forzados a conducir a lo largo del borde sin disipación. Derecha: Datos originales del efecto Hall cuántico tal y como fue medido por K. von Klitzing. Los platós en la resistividad están cuantizados en unidades de la unidad de resistencia h/e2.

¿Cómo es posible que en un experimento que, lejos de ser perfecto, con todo tipo de impurezas tanto en la muestra como en los contactos, dé lugar a una cuantización tan precisa? La única respuesta posible es que esta propiedad no depende de los pequeños detalles microscópicos del sistema o de su geometría, si no que es una propiedad más fundamental, una propiedad topológica.

La topología es la rama de las matemáticas que se olvida de los detalles geométricos de un objeto concentrándose sólo en propiedades globales. Por ejemplo: una esfera y un elipsoide (ver Figura 2) son topologicamente el mismo objeto ya que deformando suavemente su geometría podemos transformar uno en el otro. Sin embargo, no es posible deformar una esfera suavemente a un toroide (¡un donut!) ya que sería necesario taladrar un agujero, un cambio demasiado drástico. De esta forma se pueden clasificar los objetos geométricos en clases topológicas dependiendo de cuantos agujeros o asas tengan. El número de agujeros en este caso, es lo que se conoce como un invariante topológico y como es obvio, no depende de los detalles del sistema y siempre es un número entero.

Figura 2. Una esfera se puede deformar de manera suave hasta un elipsoide pero no hasta un donut o toroide. De esta forma, la esfera y el elipsoide son topológicamente equivalentes. El invariante topológico en este caso es el numero de agujeros o asas del objeto. De la misma forma, las fases topológicas se clasifican gracias a distintos invariantes topológicos que determinan sus propiedades físicas.

Figura 2. Una esfera se puede deformar de manera suave hasta un elipsoide pero no hasta un donut o toroide. De esta forma, la esfera y el elipsoide son topológicamente equivalentes. El invariante topológico en este caso es el numero de agujeros o asas del objeto. De la misma forma, las fases topológicas se clasifican gracias a distintos invariantes topológicos que determinan sus propiedades físicas.

Poco tiempo después del descubrimiento de von Klitzing, Thouless, Kohomoto, Nightingale y den Nijs demostraron que la conductividad Hall de ese gas bidimensional está necesariamente cuantizada al ser ésta una clase de invariante topológico. Esta cantidad define un nuevo tipo de estados, las fases topológicas, y su descripción en términos de invariantes supusieron un nuevo paradigma en la física. Estas fases tiene varias propiedades importantes. La primera, ya mencionada, es que son fases extremadamente robustas (no dependen de los detalles o imperfecciones del sistema) algo extremadamente útil si queremos usar esta fase con un fin práctico. La segunda es que estas fases son (por lo general) aislantes en el volumen pero presentan estados conductores en sus bordes (ver Figura 1). Estos estados de borde son extraordinarios conductores que, de nuevo, son altamente estables a la presencia de impurezas en el sistema, pudiendo transportar además carga sin disipación.

Con este paradigma un nuevo mundo parecía abrirse en la física. En 1982 se descubría el efecto Hall cuántico fraccionario, también galardonado con un Nobel, donde la cuantización ocurría en fracciones exactas, en lugar de números enteros. El origen de este efecto, al contrario que el descubierto por von Klitzing, tiene su origen en las interacciones entre electrones, creando un estado colectivo cuántico de electrones sin análogo clásico. Estos parecían “fraccionalizarse”, transportando fracciones de carga en lugar de partes enteras. Habiendo perdido completamente su identidad y presentando estas exóticas propiedades, estas nuevas partículas fraccionarias eran el ingrediente necesario para una nueva manera de hacer computación conocida como computación cuántica. La estabilidad de las fases topológicas combinada con las fuertes interacciones entre electrones resultaban en este estado cuántico de tremendo potencial tecnológico.

Los físicos se las prometían felices. Esta danza de electrones parecía adentrarnos en una nueva dimensión de fenómenos cuánticos. Existía no obstante un problema: sólo los gases bidimensionales en un fuerte campo magnético a baja temperatura estabilizaban dichas fases en la naturaleza, limitando severamente sus posibles aplicaciones prácticas.

Dos mejor que uno

Entonces, ¿existen otras fases topológicas?, ¿es el campo magnético algo fundamental?, ¿son estas fases exclusivamente bidimensionales? La respuesta a estas preguntas no parecía muy prometedora en los primeros años después del descubrimiento de von Klitzing. Sin embargo, en un alarde de ingenio, F. D. M. Haldane, investigador por aquel entonces en San Diego California, concibió un sistema donde el efecto Hall podía ocurrir sin un campo magnético externo. Anticipándose más de una década al descubrimiento del grafeno en 2004 se dio cuenta de que electrones moviéndose en una red atómica hexagonal (o de panal de abeja), la estructura básica del grafeno, podría acoger este efecto. Sin embargo, a pesar de ser capaz de demostrar teóricamente que el campo magnético externo no era estrictamente necesario, los ingredientes básicos para realizar este fenómeno, en particular un campo magnético que promediase a cero en toda la muestra, parecían imposibles de realizar en el laboratorio.

Esta idea quedó en suspenso durante años hasta que en 2006 C. Kane y E. Mele propusieron considerar dos copias del modelo de Haldane, una para cada espín. Con este truco la fase topológica resultante quizá podía realizarse en grafeno, por entonces ya un tema candente en el ámbito científico. El ingrediente crucial de esta fase, conocida como el efecto Hall cuántico de espín, es un alto acoplamiento espín-orbita, la magnitud del efecto que siente el momento angular intrínseco del electrón (el espín) con un momento angular extrínseco, por ejemplo asociado a la correspondiente órbita atómica de dicho electrón. Kane y Mele descubrieron que en esta fase, los robustos estados de borde que caracterizan a todo estado topológico se dan uno para cada espín (arriba o abajo) propagándose estos además en direcciones opuestas. Esta propiedad hace que este sistema sea ideal para la computación con espín (o espintrónica) ya que de forma natural el sistema propaga cada espín en distintas direcciones. Desafortunadamente, la magnitud del espín-orbita en grafeno, siendo proporcional al número atómico, resultó ser demasiado pequeña para el carbono, un elemento ligero. La receta sin embargo, resultó ser la clave para lo que estaba por llegar.

El efecto Hall cuántico de espín fue descubierto experimentalmente en 2007 por el grupo de L. Molenkamp en Wurzburg mientras estudiaban sistemas bidimensionales compuestos de aleaciones de mercurio, cadmio y telurio. Los experimentos, inspirados en una propuesta de B. A. Bernevig, T. Hughes y S. C. Zhang de 2006, establecieron que el efecto Hall no estaba sólo en el mundo de las fases topológicas. Era por tanto posible extender las fases topológicas a sistemas en ausencia de un fuerte campo magnético abriendo las puertas a la computación con espín.

La última pieza del puzle también se obtuvo en ese mismo año 2006. Tres grupos de teóricos, descubrieron, de manera independiente, que el efecto Hall cuántico de espín, al contrario que el efecto Hall cuántico de von Klitzing, tenían una generalización a sistemas tridimensionales. En 2008 y de acuerdo a las predicciones teóricas, se descubrió experimentalmente que aleaciones de Bismuto y Antimonio eran aislantes en el volumen pero tenían estados topológicos protegidos en la superficie. En poco tiempo se descubrieron otros ejemplos de estos aislantes topológicos, incluso a temperatura ambiente, estableciendo un hito en la materia condensada a la vez que el campo de los aislantes topológicos se consolidaba.

Para apreciar la importancia y potencial de este campo hay que tener en cuenta varios factores. El primero es quizá el aplicado. Las fases topológicas son extraordinariamente estables y por tanto cualquier aplicación futura basada en ellas sería en principio resistente a la mayoría de defectos o impurezas en la preparación del material. En segundo lugar, estas fases han abierto la puerta hacia una nueva forma de hacer computación. Tanto la computación cuántica como la espintrónica prometen una manera de concebir y construir ordenadores más eficientes y a salvo de errores. Finalmente y desde el punto de vista fundamental, las fases topológicas son extraordinariamente interesantes. Por poner un ejemplo, las teorías que describen los estados de borde característicos de estas fases son en gran medida análogas a las teorías que usamos para describir las física de partículas fundamentales. De esta forma, las fases topológicas establecen sistemas donde testar y extender en el laboratorio efectos y conceptos relativistas o de altas energías que de otro modo sería imposible investigar. Incluso más a atrevida es la idea de descubrir partículas predichas teóricamente que nunca tuvieron sitio en el zoo de partículas fundamentales, el caso de los conocidos como fermiones de Majorana, una partícula fundamental que podría encontrar su sitio en materia condensada en los bordes de una fase topológica superconductora.

Nos encontramos por tanto en un momento de alto valor científico no sólo por las revolucionarias extraordinarias ideas que subyacen debajo de las fases topológicas sino por su alto potencial tecnológico futuro. Sin duda este apasionante campo de la física, todavía en su infancia, promete dar muchas más sorpresas interesantes.

¿Quieres saber más?

Joel Moore, “The Birth of topological insulators” Nature 464, 194-198 (2010).

Hasan, M.Z.; Kane, C.L. (2010). “Topological Insulators”. Review of Modern Physics 82, 3045, (2010).

Ramón Aguado, “Partículas de Majorana en Materia Condensada”  web del GEFES.