Partículas de Majorana en Materia Condensada

Ramón Aguado. Instituto de Ciencia de Materiales de Madrid (CSIC).

En apenas tres años, tres gigantes de la física dieron cuerpo formal a las ideas, todavía algo inconexas, sobre las que descansa lo que hoy en día conocemos como física cuántica. Primero fueron Werner Heisenberg y Erwin Schrödinger con sus trabajos de 1925 sobre la formulación matricial y la ecuación de ondas. Luego, Paul Dirac completaría en los tres años siguientes el armazón matemático de la mecánica cuántica con su formulación en términos de operadores en el espacio vectorial de Hilbert (1926) y con su extensión relativista (1928). En este último trabajo, Dirac presentó una ecuación de ondas que describe la dinámica cuántica relativista para partículas de espín ½ (fermiones).

Una de las consecuencias más relevantes que se extraen de la ecuación de Dirac es la existencia de soluciones de energía negativa. Dirac concluyó que estas soluciones de energía negativa tenían un profundo significado físico ya que definían un vacío, el “Mar de Dirac”, que consistía en infinitos estados de energía negativa llenos. Las excitaciones de este vacío de energía negativa corresponderían a huecos que actuarían exactamente como electrones de energía positiva pero con carga contraria .

Usando estas ideas, Dirac predijo, incorrectamente, que estas antipartículas serían protones. Varias objeciones severas a su teoría de electrones y protones (por ejemplo, la gran diferencia de masas entre ambas partículas) le hicieron cambiar rápidamente de idea y postular la existencia del positrón, la antipartícula correspondiente al electrón, en el año 1931 (Dirac realmente nunca usó el término positrón sino anti-electrón). Sólo un año después se confirmaría la existencia del positrón mediante medidas de rayos cósmicos. Estos experimentos despejaron todas las dudas sobre la existencia de las antipartículas.

En 1937, Ettore Majorana propuso una modificación a la ecuación de Dirac. La ecuación de Majorana demostraba que era posible escribir una ecuación relativista para fermiones en términos de una función de onda y de su correspondiente solución de carga conjugada. Esto, dicho en términos sencillos, implicaba directamente que una partícula podría ser igual a su antipartícula (y, por tanto, no tendría carga eléctrica). En su artículo, Majorana postuló que el neutrino podría ser uno de estos exóticos fermiones relativistas. Hasta la fecha, un gran número de experimentos que involucran grandes instalaciones de detección de neutrinos han intentado, sin éxito, probar la existencia de los neutrinos de Majorana. De confirmarse, los neutrinos de Majorana tendrían implicaciones en varios campos de la física de partículas, la cosmología y la física nuclear (podrían ser relevantes, por ejemplo, para entender la materia oscura).

Desde un punto de vista extremadamente simplista, podríamos pensar que estas ideas están restringidas sólo al ámbito de la física de altas energías. Nada más lejos de la realidad. Como veremos a continuación, estos conceptos son perfectamente trasladables a la física de la materia condensada cuando pensamos en términos de cuasipartículas.

El concepto de cuasipartícula

Cualquier sistema de materia condensada es un problema cuántico de muchas partículas que interaccionan entre sí. Esto hace que intentar resolverlo de manera completamente microscópica tenga poco sentido. Afortunadamente, en muchos casos podemos entender un buen número de sus propiedades si somos capaces de dar con un modelo efectivo que lo sustituya. Este modelo efectivo, más sencillo, captura las características más importantes y descarta el exceso de información que sólo complica el problema sin aportar física relevante. El modelo efectivo lleva asociadas unas partículas efectivas que denominamos cuasipartículas. En este contexto, las cuasipartículas son las excitaciones sobre el estado fundamental (estado de más baja energía) del nuevo problema.

La manera más sencilla de entender una cuasipartícula es pensar que un mismo sistema físico se puede comportar de maneras muy distintas en distintas escalas energéticas. Un buen modelo es, por tanto, aquel que captura el comportamiento efectivo del sistema físico en la escala adecuada. De la misma manera, las cuasipartículas no son una entelequia teórica. Tienen significado físico y se miden experimentalmente, con sólo probar el sistema a la escala energética apropiada. En ese sentido, una cuasipartícula tiene la misma entidad fundamental que una partícula.

En las situaciones más sencillas, una cuasipartícula es casi igual a las partículas del sistema original. Por ejemplo, podemos entender un semiconductor como un sistema de electrones “libres” con una masa efectiva que sustituye a la masa original del electrón para tener en cuenta al resto de los electrones y los efectos de la red cristalina. En otros casos, las cuasipartículas tienen muy poco que ver con el sistema original de partida. Es en el segundo escenario cuando la idea de emergencia cobra todo su sentido.

El concepto de emergencia, desarrollado por Philip Anderson, viene a decir que hay ciertos saltos cualitativos en un sistema difícilmente predecibles como simples aumentos cuantitativos o, en otras palabras, que el todo es más que la simple suma de las partes. En física hay fenómenos emergentes que difícilmente podríamos predecir o entender en términos puramente microscópicos, ya que estaríamos poniendo el énfasis en las partículas incorrectas.

¿Antimateria en materia condensada?

Como acabamos de mencionar, las cuasipartículas pueden ser entendidas como excitaciones emergentes. En un metal, por ejemplo, estas excitaciones surgen del mar de Fermi (se denomina así al estado fundamental, que se construye ocupando todos los niveles de energía hasta un cierto llenado dado por el nivel de Fermi). Cada una de estas excitaciones en el mar de Fermi deja tras de sí un estado vacío (hueco) que puede ser interpretado como un electrón de carga positiva. Estas excitaciones al mar de Fermi son similares a las excitaciones al mar de Dirac de las que hablamos al principio (Fig. 1). Por su parte, la operación de conjugación de carga no es más que intercambiar cuasipartículas de tipo electrón por cuasipartículas de tipo hueco (como anécdota, Enrico Fermi introdujo estos conceptos en su descripción de los metales en el año 1926, dos años antes del trabajo de Dirac).

Figura 1. Esquema energético de las excitaciones de cuasipartícula en un metal. El estado fundamental a temperatura cero está formado por un conjunto denso de estados electrónicos ocupados (el mar de Fermi, en color morado) hasta el nivel de Fermi, EF (definido aquí, por comodidad, como el cero de energía). Las excitaciones de tipo electrón promueven una cuasipartícula a energías positivas dejando tras de sí un hueco a energías negativas. La diferencia fundamental entre el mar de Fermi y el de Dirac, entendidos como vacío de la teoría, es que en éste último la energía y la carga son infinitas, mientras que en un metal la energía está acotada por el ancho de banda (doble flecha) y la carga siempre está compensada por la carga iónica. Una formulación más moderna, en lenguaje de teoría cuántica de campos, elimina esos problemas de infinitos en la ecuación de Dirac.

Figura 1. Esquema energético de las excitaciones de cuasipartícula en un metal. El estado fundamental a temperatura cero está formado por un conjunto denso de estados electrónicos ocupados (el mar de Fermi, en color morado) hasta el nivel de Fermi, EF (definido aquí, por comodidad, como el cero de energía). Las excitaciones de tipo electrón promueven una cuasipartícula a energías positivas dejando tras de sí un hueco a energías negativas. La diferencia fundamental entre el mar de Fermi y el de Dirac, entendidos como vacío de la teoría, es que en éste último la energía y la carga son infinitas, mientras que en un metal la energía está acotada por el ancho de banda (doble flecha) y la carga siempre está compensada por la carga iónica. Una formulación más moderna, en lenguaje de teoría cuántica de campos, elimina esos problemas de infinitos en la ecuación de Dirac.

¿Significa esto que podemos tener partículas iguales a su antipartícula en materia condensada? Hay dos razones de peso que parecen decir lo contrario. La primera es que el electrón y el hueco no tienen necesariamente la misma masa efectiva. Desde este punto de vista, hablar de partículas y antipartículas parece muy forzado. La segunda, y más importante, es la misma razón por la que el electrón y el positrón no son fermiones de Majorana: el electrón y el hueco tienen cargas opuestas. ¿Cómo creamos entonces fermiones de Majorana en materia condensada? Como veremos a continuación, la superconductividad es la pieza clave que nos falta en el puzle.

Fermiones de Majorana en superconductores

La teoría de Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) describe la superconductividad como un fenómeno emergente en el que, a temperaturas suficientemente bajas, todos los electrones del metal condensan y se agrupan en pares de Cooper que forman una onda cuántica colectiva. La energía necesaria para romper los pares de Cooper de este estado fundamental es el gap superconductor. Las excitaciones sobre este estado fundamental son superposiciones cuánticas de electrones y huecos que se denominan cuasipartículas de Bogoliubov. A diferencia del ejemplo anterior, donde las masas efectivas de electrones y huecos podían ser distintas, en un superconductor la simetría entre electrones y huecos está garantizada. Las cuasipartículas de Bogoliubov, por tanto, sí pueden consideradas parejas partícula-antipartícula: romper un par de Cooper a energía cero es equivalente a generar dos excitaciones, simétricas y de energía opuesta. Sin embargo, el requisito de neutralidad de carga no se cumple ya que cada excitación es eminentemente de tipo electrón o de tipo hueco (Fig. 2 A). La única posibilidad de generar una cuasipartícula de Bogoliubov perfectamente neutra (mitad electrón-mitad hueco), y por tanto de tipo Majorana, es hacerlo a coste energético cero (Fig. 2 B). Los superconductores que contienen estas excitaciones de Majorana se denominan superconductores topológicos.

Figura 2. A y B: Esquema energético de un superconductor. El estado fundamental está formado por un condensado de pares de Cooper. En ciertos casos, las excitaciones de quasipartícula de Bogoliubov ocurren a energías finitas por debajo del gap superconductor (Δ). Por cada excitación de carácter eminentemente electrónico a energía positiva E existe una excitación equivalente a energía negativa –E de carácter hueco. Estas excitaciones de Bogoliubov tienen, por tanto, simetría electrón-hueco (partícula-antipartícula). A) Superconductor ordinario. B) En un superconductor topológico existen excitaciones de Bogoliubov, a energía cero, de tipo Majorana. C) Un nanohilo semiconductor en proximidad con un superconductor ordinario presenta una fase topológica con cuasipartículas de Majorana muy localizadas en sus extremos. Inyectando corriente eléctrica a través de uno de los extremos del nanohilo, podemos detectar la presencia de estos modos localizados.

Figura 2. A y B: Esquema energético de un superconductor. El estado fundamental está formado por un condensado de pares de Cooper. En ciertos casos, las excitaciones de quasipartícula de Bogoliubov ocurren a energías finitas por debajo del gap superconductor (Δ). Por cada excitación de carácter eminentemente electrónico a energía positiva E existe una excitación equivalente a energía negativa –E de carácter hueco. Estas excitaciones de Bogoliubov tienen, por tanto, simetría electrón-hueco (partícula-antipartícula). A) Superconductor ordinario. B) En un superconductor topológico existen excitaciones de Bogoliubov, a energía cero, de tipo Majorana. C) Un nanohilo semiconductor en proximidad con un superconductor ordinario presenta una fase topológica con cuasipartículas de Majorana muy localizadas en sus extremos. Inyectando corriente eléctrica a través de uno de los extremos del nanohilo, podemos detectar la presencia de estos modos localizados.

Aunque un superconductor ordinario (con pares de Cooper de simetría s, sin momento angular) no contiene excitaciones de energía cero, varios artículos teóricos de los años 90 demostraron que ciertas fases exóticas superconductoras (con pares de Cooper de simetría p, con momento angular 1) sí podrían generarlas. Estas fases se podrían encontrar en el He-3 y en el llenado 5/2 del efecto Hall cuántico fraccionario pero son difícilmente accesibles desde un punto de vista experimental.

En el año 2000, Alexei Kitaev (profesor de Caltech que en aquella época era investigador en Microsoft Research) propuso un modelo muy sencillo de un superconductor de onda p en una dimensión y demostró explícitamente que el modelo exhibía fases topológicas con excitaciones de Bogoliubov de energía cero de tipo Majorana. Estos estados de Majorana son el equivalente superconductor de los estados de borde no-triviales en los aislantes topológicos y pueden existir en más dimensiones.

Aparte de su interés fundamental, Kitaev predijo algo aún más exótico: estas excitaciones de Majorana a energía cero no son realmente fermiones sino que que son “anyons”. Esto significa que si intercambiamos dos de estas cuasipartículas de Majorana la función de onda no se comporta ni como un fermión ni como un bosón. Además, el orden en el efectuemos el intercambio importa (el proceso es no conmutativo) por lo que los anyons son no-abelianos. Estas propiedades no-Abelianas podrían ser útiles en computación cuántica topológica.

A pesar de todas estas fascinantes propiedades, estas ideas no tuvieron demasiado eco en la comunidad experimental de la época por el motivo que ya hemos apuntado más arriba: de existir, estas fases exóticas con simetría p son de muy difícil acceso experimental. Sorprendentemente, y a pesar de este obstáculo casi insalvable, hemos asistido en los últimos años a un verdadero boom de la física de Majorana en estado sólido. En el siguiente apartado explicaré las razones principales de este revival.

Diseñando superconductores topológicos: a la caza de los esquivos fermiones de Majorana

No fue hasta casi diez años después de la propuesta original de Kitaev, cuando un artículo de Charlie Kane y su estudiante de doctorado Liang Fu en la Universidad de Pensilvania hizo que los fermiones de Majorana en materia condensada pasasen de los lápices de los teóricos a ser una posibilidad real, susceptible de ser medida experimentalmente. El concepto era sencillo: en vez de buscar fermiones de Majorana en superconductores exóticos la idea era diseñar uno de esos superconductores a partir de materiales ya conocidos en los laboratorios.

La palabra clave en este caso es efecto proximidad; una propiedad bien conocida mediante la cual los electrones de un sistema normal en contacto con un superconductor adquieren una probabilidad finita de formar pares de Cooper. La propuesta incluía otro ingrediente fundamental: el efecto proximidad debía ser inducido en un sistema electrónico que se comporte de manera efectiva de manera relativista como, por ejemplo, en la superficie de un aislante topológico. Esta idea generó inmediatamente propuestas similares, incluso más sencillas, basadas en materiales semiconductores con fuerte acoplo espín-órbita, que también genera efectos relativistas.

Apenas dos años después de la propuesta de Fu y Kane, Leo Kouwenhoven confirmaba en Boston, en la Reunión de Marzo del 2012 de la APS (American Physical Society), un rumor que ya iba de boca en boca: en su laboratorio de Delft en Holanda tenían datos experimentales muy contrastados que eran consistentes con la existencia de una partícula de Majorana en nanohilos semiconductores. Parecía en este caso que los grandes detectores de neutrinos habían perdido la partida frente a un sistema experimental mucho más modesto: unas pequeñas señales en la corriente eléctrica a través de un nanohilo semiconductor (Antimoniuro de Indio) y en proximidad con un electrodo superconductor (Niobio), ver Fig 2c.

Hace unas pocas semanas, el grupo de Ali Yazdani (Princeton) publicaba datos similares en un sistema aún más modesto: imágenes de STM de una cadena de átomos de hierro depositados sobre una superficie superconductora de plomo.

¿Es este el fin de la historia? Definitivamente no. Primero: necesitamos más pruebas experimentales que corroboren la detección de Majoranas en materia condensada. Segundo: aún más importante es demostrar las propiedades no-Abelianas de estas excitaciones tan exóticas. De demostrarse, creo que no sería descabellado afirmar que las partículas de Majorana en un superconductor topológico son aún más interesantes que sus equivalentes en altas energías. Después de todo, las partículas elementales son siempre fermiones o bosones. Cosas de la emergencia.

¿Quieres saber más?

  • Frank Wilczek, “Majorana returns” Nature 5, 614 – 618 (2009).
  • Jason Alicea, “New directions in the pursuit of Majorana fermions in solid state Systems”, Rep. Prog. Phys. 75 076501, (2012).
  • Steven R. Elliot and Marcel Franz, “Majorana Fermions in nuclear, particle and solid-state physics”, arXiv:1403.4976 (2014).
  • Adolfo Grushin, “Fases Topológicas”, web del Gefes.
  • Ramón Aguado, “Topological Superconductors”  (curso de postgrado en el ICMM-CSIC).