Revolución topológica en materia condensada

Esta entrada es una reproducción autorizada del artículo  publicado en la Revista Española de Física, 30-4, Octubre-Diciembre 2016, por Alberto Cortijo, Elsa Prada,  Pablo San-Jose, Ramón Aguado y Joaquín Fernández Rossier.
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La física de la materia condensada es mucho más que una rama de la física: es una forma diferente de mirar al universo enraizada en el concepto de emergencia. Esta idea, propuesta por Philip W. Anderson en su famoso artículo de 1972 “More is different” [1] y desarrollada por Robert Laughlin [2], entre otros, defiende que el todo es mucho más que la simple suma de las partes. Las propiedades de un sistema compuesto, ya sea un cristal, una proteína, o un núcleo atómico, no se pueden deducir, en la práctica, de las propiedades de las piezas que los componen (átomos, aminoácidos, quarks), sino que emergen como consecuencia de la organización espontánea de sus constituyentes. Dichas propiedades nacen de la complejidad del conjunto y no pueden entreverse analizando los constituyentes por separado: una sinfonía de Beethoven se caracteriza por patrones que se pierden de vista al considerar las notas musicales por separado; saber tres acordes, haciendo referencia a otro premio Nobel de este año, no te garantiza componer canciones como las de Bob Dylan.

El concepto de orden emergente es uno de los grandes avances intelectuales de las últimas décadas y se opone a la visión reduccionista de la física: entender las partículas elementales y las ecuaciones que las gobiernan no implica entender un sistema complejo de muchas partículas. La descripción fundamental más adecuada de un sistema complejo se concentra en grados de libertad colectivos, a veces denominados “parámetros de orden”, y en las leyes emergentes que rigen su comportamiento. Éste es el paradigma, que nace con la descripción de Lev Landau de las transiciones de fase, sobre el que descansa nuestra comprensión actual de los posibles estados de la materia condensada.

El premio Nobel de física 2016 se otorga a Kosterlitz, Thouless y Haldane por sus contribuciones a lo largo de las décadas de los 70 y 80 que hicieron posible una nueva forma de entender el orden en sistemas físicos, combinando las ideas de emergencia de Anderson con conceptos propios de la topología, una rama de las matemáticas que trata sobre propiedades invariantes de objetos continuos.

Los parámetros de orden en sistemas complejos tienen por lo general una propiedad básica: son campos continuos. Por ejemplo, el parámetro de orden relevante en la fase magnética de un imán corresponde a la magnetización local, es decir, la distribución espacial del promedio del espín de los electrones que componen el material. Si bien el parámetro de orden corresponde a un promedio sobre espines discretos, el resultado emergente es indistinguible de un campo vectorial continuo, dado el enorme número de electrones involucrados en torno a cada punto del espacio. A altas temperaturas, en la fase no magnética, este parámetro de orden es cero (salvo por fluctuaciones térmicas o cuánticas), pero se vuelve no nulo tan pronto el sistema se ordena magnéticamente al enfriarse por debajo de la temperatura de Curie. Ésta es la idea convencional de orden en la teoría de Landau. Existen multitud de sistemas en los que el orden se define mediante un campo vectorial continuo. Otro ejemplo estándar es el de los materiales superconductores, en los que la orientación del vector representa la fase del parámetro de orden complejo que mide la amplitud de pares de Cooper en cada punto.

En matemáticas, el análisis de la topología de objetos continuos se basa en una idea muy simple: los objetos que puedan transformarse entre sí mediante una deformación continua son topológicamente equivalentes. Se dice que pertenecen a la misma clase topológica. En el quizás manido ejemplo que compara una taza con asa con un donut decimos que las superficies de ambos objetos son matemáticamente equivalentes, ya que tienen un solo “agujero”. En este caso el número de agujeros, o “genus”, sirve como índice de clasificación topológica, o invariante topológico, porque no puede crearse ni destruirse un agujero en una superficie con una deformación continua (hacen falta tijeras y pegamento).

Llegados a este punto podemos intuir la relevancia de la topología en el contexto de la emergencia, ya que las posibles configuraciones de un parámetro de orden pueden ser susceptibles de una clasificación topológica. Esta clasificación va más allá de un mero juego matemático. Dada la imposibilidad de transformar suavemente una configuración de un parámetro de orden de una clase topológica a otra, cualquier propiedad física asociada a invariantes topológicos es extremadamente robusta. Se dice que tales propiedades están “protegidas topológicamente” frente a perturbaciones. Se derivan de un tipo de orden distinto del convencional, un orden topológico de carácter global codificado por invariantes topológicos en lugar de por el valor concreto del parámetro de orden en cada punto. Los trabajos de Thouless, Haldane y Kosterlitz premiados con el Nobel comparten todos este aspecto: describen propiedades físicas de diversos sistemas que se derivan de la existencia de un orden topológico.

Para apreciar mejor las contribuciones de los premiados, es útil presentar un ejemplo de configuración topológica de un parámetro de orden. Consideremos de nuevo el caso del imán. Al bajar la temperatura lentamente, podemos llegar a una configuración en la que el parámetro de orden, la magnetización, apunta en una misma dirección en todos los puntos del imán. Esta es la situación típica a la que estábamos habituados dentro de la teoría de Landau y determina toda la fenomenología de los llamados sistemas ferromagnéticos convencionales. Sin embargo, no es la única configuración posible. En ciertas situaciones (sistemas magnéticos con acoplo espín-órbita) el momento magnético puede desarrollar una especie de remolino, una textura topológica conocida como “skyrmion” (véase figura 1a). Esta configuración del parámetro de orden es estable y pertenece a una clase topológica distinta a la de la solución ferromagnética. Su invariante topológico corresponde a la “carga topológica” del skyrmion, que puede ser positiva o negativa según el sentido en que se retuerce la textura magnética. La propiedad clave es que ninguna transformación continua ni perturbación física de baja energía puede destruir al skyrmion. Existe tan sólo la posibilidad de que un skyrmion se aniquile con otro skyrmion de carga opuesta, pero la carga topológica neta de todos los skyrmiones de un material se convierte en una propiedad robusta, protegida topológicamente.

Algo análogo ocurre en un superconductor conocido como tipo II, donde la fase de su parámetro de orden puede desarrollar vórtices o remolinos parecidos a tornados. Se pueden generar vórtices en la fase mediante la aplicación de un campo magnético (figura 1b). Una vez creados, los vórtices, como buenos objetos topológicos, sólo pueden aniquilarse con vórtices de carga topológica opuesta (antivórtices), o formar estados ligados, o bien merodear libremente por el material, indestructibles, hasta encontrar otro antivórtice. Thouless y Kosterlitz describieron por primera vez la termodinámica de este tipo de objetos topológicos en sistemas bidimensionales [3]. En el proceso, descubrieron un nuevo tipo de transición de fase, la transición de Kosterlitz-Thouless. Este tipo de transición va más allá del paradigma de Landau, ya que el sistema no pierde un orden bien definido al cruzar la temperatura crítica,  sino que experimenta una disociación de pares vórtice-antivórtice.

pair-vortice-anti-vortice

Si bien Kosterlitz y Thouless describieron las fluctuaciones térmicas de vórtices en sistemas como los superconductores tipo II, Haldane por su lado iluminó el papel de texturas topológicas (tipo skyrmion) en las fluctuaciones cuánticas, concretamente en cadenas de espines unidimensionales [4, 5]. Si bien dichas cadenas son unidimensionales, sus configuraciones dinámicas habitan un plano bidimensional con la dimensión temporal en un eje y la espacial en otro. Esto posibilita la existencia de configuraciones bidimensionales como es el skyrmion. Haldane conjeturó que estas fluctuaciones topológicas determinan si la cadena de espines desarrolla o no excitaciones de baja energía. La llamada conjetura de Haldane fue posteriormente comprobada tanto con cálculos numéricos como experimentalmente.

skyrmion

Thouless ha sido también galardonado por desvelar, junto con Kohmoto, Nightingale, y den Nijs, la naturaleza topológica subyacente del efecto Hall cuántico, observado por K. Von Klitzing y coautores en 1980 y premiado con el Nobel de física a Von Klitzing en 1985. Thouless y coautores demostraron  [6] que, en el efecto Hall cuántico, un sistema electrónico bidimensional sometido a un flujo magnético intenso desarrolla vórtices en sus bandas, definidos por la fase de los estados electrónicos en cada punto de la zona de Brillouin. Crucialmente, también demostraron que existe una relación exacta entre la carga topológica neta de dichos vórtices y la conductividad Hall del sistema. Fue la primera instancia en la que un invariante topológico, en este caso la vorticidad de las bandas, se relacionaba directamente con una cantidad medible. La conductividad Hall adquirió así un status completamente único y distinto de otras propiedades más convencionales. Como propiedad protegida topológicamente, se explicaba así también la extraordinaria robustez de la cuantización de la conductancia Hall en unidades de e2/h, donde e es la carga de un solo electrón y h es la constante de Planck. De forma efectiva, la topología no trivial en las bandas de un conjunto de trillones de electrones en el régimen Hall cuántico nos permite acceder, mediante la conductividad Hall del sistema macroscópico, a las constantes fundamentales e y h con una precisión tal que este experimento proporciona la referencia para definir e2/h.

Las teorías desarrolladas por Thouless, Haldane y Kosterlitz en sus diversos trabajos son verdaderamente fascinantes en sí mismas. Sin embargo, su mérito fundamental fue el de generar todo un nuevo lenguaje para describir el orden de los sistemas más allá del paradigma de Landau. Los conceptos topológicos que introdujeron en nuestra descripción del mundo sembraron una semilla que, tras permanecer más o menos latente durante un par de décadas, está provocado una auténtica revolución en la física de la materia condensada. En los últimos diez años hemos entendido y demostrado que una vorticidad neta en las bandas de un sistema electrónico puede producirse incluso en ausencia de campos magnéticos, tan esenciales para el efecto Hall cuántico. Los materiales con esta propiedad se conocen como aislantes topológicos y fueron ya descritos, en una forma aún primigenia, por Haldane en 1988 [7]. Dichos materiales exhiben una forma modificada de efecto Hall cuántico, el efecto Hall cuántico de espín, con estados de superficie metálicos protegidos por el invariante topológico de sus bandas. Otra instancia de material topológico, el superconductor topológico, está siendo estudiado en numerosos experimentos. Se espera que sus estados de superficie, conocidos como estados de Majorana, permitan codificar información cuántica de forma robusta gracias a su naturaleza topológica, una propiedad clave para el desarrollo de ordenadores cuánticos escalables. Por otro lado, los semimetales de Weyl, metales topológicos descubiertos recientemente, responden a campos electromagnéticos de una manera completamente inusual a como lo haría un metal ordinario. Las propiedades topológicas se extienden a materiales más allá de los sistemas electrónicos, como los cristales ópticos o cristales sónicos topológicos, donde la luz o el sonido viajan a través de estados de borde protegidos sin ser afectados por obstáculo alguno.

Thouless, Haldane y Kosterlitz nos propusieron una forma radicalmente nueva de entender el orden en la naturaleza. Cuatro décadas después de sus primeros trabajos seguimos descubriendo nuevas implicaciones de la topología en la física de la materia condensada. Sus teorías no se quedaron en una mera disquisición técnica o matemática. Muy al contrario, su nuevo punto de vista ha cobrado vida propia y crece rápidamente extendiendo sus ramas en múltiples direcciones. Celebramos, por tanto, que la Academia de Ciencias Sueca haya reconocido su trascendencia con el premio Nobel de física 2016.

Referencias

[1] P. W. Anderson, Science 177, 393 (1972)

[2] R. B. Laughlin, A Different Universe, Reinventing Physics From the Bottom DownBasic Books (2006)

[3] J. M. Kosterlitz y D. J. Thouless. Journal of Physics C: Solid State Physics 6(7) 1181 (1973)

[4] F. D. M. Haldane, Physics Letters A. 93(9) 464–468 (1983)

[5] F. D. M. Haldane, Physical Review Letters 50(15) 1153 (1983)

[6] D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale y M. Den Nijs, Physical Review Letters 49(6) 405 (1982)

[7] F. D. M. Haldane, Physical Review Letters 61(18) 2015 (1988)